题目分析：

这道题可以使用数学方法进行求解。对于一个三位数 $a$，除以一位数 $b$，商为 $112$ 余数为 $5$ 的条件可以用以下公式表示：

$$a=112b+5$$

其中，$a$ 可以写成 $100x + 10y + z$ 的形式，代入公式中得到：

$$100x+10y+z= 112b+5$$

根据题意，$a$ 是三位数，因此 $x \\neq 0$，而 $b$ 是一位数，因此 $b \\neq 0$。又因为 $a$ 是三位数，所以 $x,y,z$ 都是 $0$~$9$ 中的整数。因此，我们可以尝试让 $b$ 从 $1$ 到 $9$ 依次取值，计算出相应的 $a$。如果 $a$ 是三位数且满足条件，则计数器 $count$ 加 $1$。

解题步骤：

1.初始化计数器变量 $count$ 为 $0$。

2.使用循环语句让 $b$ 从 $1$ 到 $9$ 依次取值。

3.计算 $a=112b+5$。

4.判断 $a$ 是否是三位数。

5.如果 $a$ 是三位数，则将 $count$ 加 $1$。

6.输出 $count$ 的值即可。

参考代码：