柜台转账转飞指的是在柜台办理转账时，由于柜员填写错误或操作不当，导致资金并没有到达收款人账户而被转到了错误的账户上。这属于银行的责任，因为是由银行的工作人员操作失误导致的错误。

一般情况下，客户可以先向银行投诉并索要解决方案，如果银行无法解决或拒不解决，客户可以向当地人民银行进行投诉。如果造成了经济损失，客户也可以考虑起诉银行，但是这需要一定的证据和法律支持。建议在办理转账时，注意核对信息，确保资金正确到账。