要求同余7的355次方的后两位数，可以先求出7的1次方、2次方、3次方、4次方、5次方等的后两位数，观察其规律。

7^1的后两位数是07。

7^2的后两位数是49。

7^3的后两位数是43。

7^4的后两位数是01。

7^5的后两位数是07。

可以发现，7的次方的后两位数以49、43、01、07这4个数为一个周期循环。

355\\div4=88\\cdots3，其中3是余数。

即7的355次方的后两位数是一个周期中的第3个数，为43。

因此，同余7的355次方的后两位数是43。需要注意的是，这只是根据规律得出的结果，实际计算可能会有所不同。如果需要更精确的结果，可以使用数学软件或编程语言进行计算。