一、流程：
原告起诉：原告向法院起诉，应递交起诉状和有关的证据材料，并按照被告人数递交起诉状副本和证据副本。
法院受理：法院进行审查后，对于符合条件的进行立案。
开庭审理：法院会安排开庭时间并向双方发送传票，开庭时双方应出庭，法院会审理双方的证据和辩论，并作出判决。
判决：法院根据庭审情况，会作出判决，判决内容可能包括确定监护人、撤销监护人资格、变更监护人等。
二、费用：
起诉监护权的费用主要包括案件受理费和其他诉讼费用。案件受理费根据案件的性质和标的额的大小而定，一般按照一定比例收取。其他诉讼费用可能包括鉴定费、评估费、公告费等，根据具体情况而定。
需要注意的是，如果原告在起诉时申请了财产保全或证据保全等措施，还需要支付相应的保全费用。
总之，起诉监护权的流程和费用因地区和案件具体情况而异，建议在起诉前咨询当地的律师或法院工作人员，了解具体的流程和费用情况。