交通事故发生后，即使双方已经口头私了，仍然可以报警请求公安机关交通管理部门处理。根据《中华人民共和国道路交通事故处理程序规定》第十八条，当事人未报警但在事故现场撤除后报警的，公安机关交通管理部门应当受理，并及时处理。

如果经核查道路交通事故事实存在，公安机关交通管理部门应当受理并制作受案登记表。

如果无法证明事故事实存在或不属于公安机关交通管理部门管辖，则应当书面告知当事人，并说明理由。