根据沈阳市交通局的要求，申请网约车车证需要先通过网络预约考试并通过考试后，方可进一步办理车证。因此，具体办理时间需要根据考试预约和审核时间而定。

一般情况下，考试预约需要提前数天，审核需要较长时间，再加上制证等环节，整个办理过程可能需要一个月左右的时间。建议有意向办理网约车车证的司机们提前安排好时间，并认真准备考试。